Le Cose di Rudy

Il paradosso di Epimenide

Pare che Epimenide - pur essendo cretese egli stesso - ebbe a dire "Tutti i Cretesi sono bugiardi". Questa affermazione non è propriamente paradossale poiché, per essere bugiardi, non è necessario dire sempre e solo il falso, ma è sufficiente mentire qualche volta. Epimenide, il  quella occasione, avrebbe potuto dire la verità e, in altre, dire il falso.
 
L'aneddoto, però, suggerisce la costruzione di altri enunciati propriamente paradossali come "Questa frase è falsa". Il paradosso è evidente: se la frase è falsa allora dice il vero e non sarebbe più falsa, ma allora...
 
Tutti i paradossi hanno una spiegazione che, per quanto ne so, è sempre riconducibile alla non coerenza dei sistemi assiomatici assunti e di cui ho dato un esempio nella nota "Il paradosso dell'impiccagione imprevedibile".
 
Un impianto assiomatico è costituito da un corpo di enunciati {A, B, C,...}.
 
Presi singolarmente, gli enunciati potrebbero essere "sensati" in qualche occasione, ma può accadere, per esempio, che A e B non possano mai presentarsi insieme perché si contraddicono: un tale sistema assiomatico sarebbe "non-coerente".
 
Se un sistema assiomatico non è coerente si può dimostrare qualunque teorema.
 
Prima di spiegare il paradosso facciamo una premessa, anzi, due o tre
 
1) due sistemi assiomatici sono equivalenti se possono dimostrare gli stessi teoremi;
 
2) se aggiungo agli assiomi del sistema un teorema dimostrato nell'ambito della teoria stessa, ottengo un sistema assiomatico equivalente;
 
3) accanto ad un assioma A posso aggiungere l'enunciato "A è vero" ottenendo un sistema assiomatico equivalente.
 
 
Consideriamo, dunque, il sistema assiomatico
 
a) questa frase è falsa.
 
Esso è equivalente, per quanto detto, al sistema
 
a) questa frase è falsa;
b) la frase (a) è vera.
 
L'affermazione "Quasta frase è falsa"  è, quindi, facilmente riconducibile a un sistema assiomatico non-coerente nel quale possiamo dimostrare tutti i teoremi: posso dimostrare che (a) è vera e posso dimostrare che (a) è falsa.
 
 
Note
 
a) Come dice Umberto Eco nel suo "Trattato di semiotica generale", la semiotica è "la disciplina che studia tutto ciò che può essere usato per mentire".
 
b) Qualcuno vi vuole trascinare in una discussione e intuite che le premesse non sono globalmente coerenti? C'è da scommettere che quel qualcuno ha già tutte le "sue" risposte e la discussione è inutile.