Le Cose di Rudy
Il paradosso dell'impiccagione imprevedibile
Un tale venne condannato a morte di sabato. "L'impiccagione avverrà a mezzogiorno" disse il giudice al prigioniero "in uno dei sette giorni della prossima settimana. Ma voi non saprete in anticipo quale sarà il giorno perché sarete informato solo nella stessa mattinata del giorno fissato per l'esecuzione".
Il giudice era noto per essere un uomo rigorosamente fedele alla sua parola. Il prigioniero, accompagnato dal suo avvocato, tornò in cella. Appena soli, il legale si mise a sorridere. "Non capite?" esclamò "La sentenza del giudice non ha possibilità di essere eseguita".
"Non vedo come" disse il prigioniero.
"Ve lo spiego subito. È evidente che non possono impiccarvi sabato prossimo. Sabato è l'ultimo giorno della settimana e se foste vivo nel pomeriggio di venerdì, sapreste con assoluta certezza che l'impiccagione avverrebbe di sabato e lo verreste a sapere prima che l'annuncio vi venisse dato nella mattina di sabato. Ciò violerebbe la sentenza del giudice".
"È vero" disse il prigioniero.
"Dunque sabato è decisamente escluso" continuò l'avvocato. "Venerdì perciò resta l'ultimo giorno possibile per l'impiccagione. Però non è possibile che vi impicchino di venerdì perché arrivati a giovedi pomeriggio rimarrebbero solo due giorni: venerdì e sabato. Ma se sabato non è un giorno possibile, l'impiccagione dovrebbe avvenire di venerdì. La vostra conoscenza di questo fatto violerebbe di nuovo la sentenza del giudice. Così l'ultimo giorno possibile rimane giovedì. Ma giovedì è da escludere perché se foste vivo mercoledì pomeriggio, sapreste che giovedì sarebbe il giorno fissato".
"Vedo", disse il prigioniero, che cominciava a sentirsi molto più tranquillo. "Esattamente allo stesso modo posso escludere mercoledì, martedì e lunedì. Rimarrebbe solo domani; ma non possono impiccarmi domani perché lo saprei già da oggi!".
...ma il giovedì mattina, con grande sopresa del prigioniero, il boia arriva. È chiaro che egli non se lo aspettava e, cosa ancor più sorprendente, la sentenza del giudice appare ora perfettamente corretta e può essere eseguita nei termini esatti enunciati.
La morale della storia?
Se il sistema assiomatico di partenza non è coerente (cioè contiene degli enunciati che, presi singolarmente, sono possibili ma tra loro sono in contraddizione) possiamo dimostrare qualunque teorema: sia P che la sua negazione ¬P.
Il sistema assiomatico della nostra storia può essere così posto:
a) l'impiccagione avverrà a mezzogiorno di un giorno della prossima settimana;
b) per ognuno di questi giorni, l'impiccagione non può essere prevista il giorno prima.
Ovviamente, l'affermazione (b), per quanto riguarda il sabato, è in contraddizione con (a).
È interessante notare che se nella (a) avessimo scelto un insieme infinito di giorni (senza estremo superiore) il sistema assiomatico sarebbe diventato coerente: per questo motivo... moriremo tutti, forse questa sera, forse tra un anno, ma moriremo tutti; triste ma vero!